Задача 110806

Темы:    [ Описанные четырехугольники ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

На стороне AB остроугольного треугольника ABC постройте такую точку M , что в четырёхугольник, вершины которого C , M и проекции точки M на стороны CA и CB , можно было вписать окружность.

Ответ

Предположим, что точка M , удовлетворяющая условию задачи, построена, а точки P и Q – её проекции на стороны соответственно AC и BC треугольника ABC и четырёхугольник CPMQ – описанный. Обозначим CP=x , CQ=y , MQ=z , MP=t . Тогда

Если x y , то x+y+z+t = 0 , что невозможно. Значит, x=y . Тогда z=t , а из равенства прямоугольных треугольников CPM и CQM следует, что CM – биссектриса треугольника ABC . Отсюда вытекает следующее построение. Строим биссектрису CM треугольника ACB . Точка M равноудалена от сторон угла ACB , т.е. перпендикуляры MP и MQ , опущенные из этой точки на стороны AC и BC треугольника ABC , равны. Значит, равны прямоугольные треугольники CMP и CMQ . Следовательно,
MQ + CP = MP + CQ,
т.е. в четырёхугольник CPMQ можно вписать окружность.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5715