Задача 110833

Темы:    [ Ромбы. Признаки и свойства ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Дан ромб ABCD . Радиусы окружностей, описанных около треугольников ABC и BCD , равны 1 и 2. Найдите расстояние между центрами этих окружностей.

Решение

Отрезок BC — общая хорда окружностей с центрами O1 и O2 , описанных около треугольников ABC и BCD соответственно, поэтому прямая O1O2 перпендикулярна отрезку BC и делит его пополам.
Пусть M — середина BC . Тогда O1M и BD — серединные перпендикуляры к сторонам BC и AC треугольника ABC . Обозначим CBO2= BCO2= BO1M = α . Из прямоугольных треугольников BMO1 и BMO2 находим, что

BM=BO1 sin α=1· sin α = sin α, BM=O2B cos α=2 cos α,
откуда tg α = 2 . Тогда cos α = , sin α = , значит,
O1M=BO1 cos α = , O2M=BO2 sin α = .
Следовательно,
O1O2=O2M-O1M=-= .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5786