Задача 110844

Темы:    [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ] [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ] [ Признаки и свойства касательной ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Окружность с центром на стороне AC равнобедренного треугольника ABC ( AB=BC ) касается сторон AB и BC , а сторону AC делит на три равные части. Найдите радиус окружности, если площадь треугольника ABC равна 9 .

Решение

Пусть окружность радиуса r с центром O на основании AC равнобедренного треугольника ABC касается боковых сторон AB и AC в точках M и N соответственно и пересекает основание AC в точках P и Q , причём AP=PQ=QC . Тогда OM и ON – высоты треугольников AOB и COB , AP=PQ=2r , AO = 3r . По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника AOM находим, что

AM = = =2r.
Тогда
MB = = = , AB=AM+MB = 2r+=,

9 = S_{Δ ABC} = S_{Δ AOB} +S_{Δ COB} = AB· OM+BC· ON = AB· OM = · r = .
Откуда находим, что r2 = 4 . Следовательно, r=2 .

Ответ

2.00

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5797