Задача 110851

Темы:    [ Ромбы. Признаки и свойства ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Около окружности радиуса 1 описаны ромб и треугольник, две стороны которого параллельны диагоналям ромба, а третья параллельна одной из сторон ромба и равна 5. Найдите сторону ромба.

Решение

Пусть сторона KM треугольника KLM параллельна диагонали BD ромба ABC и касается данной окружности в точке P , сторона KL треугольника параллельна диагонали AC ромба и касается окружности в точке Q , а сторона LM треугольника параллельна стороне AB ромба и касается окружности в точке T . Поскольку стороны KM и KL параллельны диагоналям ромба, а диагонали ромба перпендикулярны, треугольник KLM – прямоугольный, причём LKM = 90^o . Если O – центр окружности, то четырёхугольник KPOQ – квадрат со стороной, равной радиусу окружности, т.е. 1. Обозначим MP=MD = x . Тогда

MT=MP=x, LQ=LT =ML-MT= 5-x, KL=KQ+LQ=1+(5-x)=6-x.
По теореме Пифагора ML2=KM2+KL2 , или
25=(1+x)2+(6-x)2, x2-5x+6=0.
Продположим, что KM < KL . Тогда возьмём меньший корень полученного уравнения: x=2 . Таким образом, KM=1+x=1+2=3 , KL=6-x=6-2=4 . Обозначим KLM = α . Тогда
sin α = = , cos α = , sin 2α = 2 sin α cos α = 2· · = .
Пусть H – проекция вершины B ромба на его сторону AD . Тогда BH – высота ромба, значит, BH вдвое больше радиуса окружности, вписанной в ромб, т.е. BH=2 . Из прямоугольного треугольника AHB находим, что
AB = = = = = = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5815