Задача 110859

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Общая касательная к двум окружностям ] [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Окружности радиусов r и R касаются внешним образом в точке A . Прямая касается этих окружностей в различных точках B и C . Найдите радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника ABC .

Решение

Предположим, что r<R . Опустим перпендикуляр O1F из центра O1 окружности радиуса r на радиус O2C большей окружности, проведённый в точку касания C . Из прямоугольного треугольника O1FO2 находим, что

O1F = = = 2.
Следовательно, BC = O1F = 2 . Пусть общая касательная к окружностям, проведённая в точке A , пересекает отрезок BC в точке M . Тогда MB=MA=MC , т.е. медиана треугольника ABC , проведённая из вершины угла A , равна половине стороны BC . Значит, BAC = 90^o . Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы, следовательно, радиус описанной окружности треугольника ABC равен . Продолжим хорду AB окружности радиуса r до пересечения со второй окружностью в точке D . Поскольку CAD = 90^o , CD – диаметр второй окружности. Обозначим ACB = α . Тогда BDC = α . Из прямоугольного треугольника BCD находим, что
tg α = = = .
Тогда
cos α = , sin α = .
Из прямоугольного треугольника ABC находим, что
AB = BC sin α = 2· = ,

AC = BC cos α = 2· = .
Известно, что радиус x окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами a , b и гипотенузой c , можно вычислить по формуле x= . В нашем случае
x= = =+-=

=.

Ответ

, .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5723