Задача 110862

Темы:    [ Описанные четырехугольники ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Окружность с центром O , вписанная в равнобедренный треугольник ABC , касается боковых сторон AB и BC в точках P и Q соответственно. Докажите, что в четырёхугольник BPOQ можно вписать окружность, и найдите угол ABC , если известно, что радиус этой окружности вдвое меньше радиуса вписанной окружности треугольника ABC .

Решение

Четырёхугольник BPOQ выпуклый, BP=BQ как отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, а OP=OQ как радиусы одной окружности, поэтому BP+OQ = BQ+OP . Следовательно, в четырёхугольник BPOQ можно вписать окружность. Пусть r – её радиус. Тогда радиус висанной окружности треугольника ABC равен 2r . Если окружность с центром O1 , вписанная в четырёхугольник BPOQ , касается его стороны OP в точке F , а стороны BP – в точке E , то

O1F OP, O1F = r, O1E BP, FP = O1E = r, OF = OP-FP=2r-r=r.
Из прямоугольного треугольника OFO1 находим, что FO1O = FOO1 = 45^o . Тогда OBQ = OBP = 45^o . Следовательно, ABC = 2 OBP = 90^o .

Ответ

90^o .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5726