Условие
Дана окружность и её хорда
AB . Для всех точек
C окружности,
отличных от
A и
B рассматриваются параллелограммы
ABCD .
Найдите геометрическое место: а) точек
D ; б) центров параллелограммов
ABCD .
Решение
а) При параллельном переносе на вектор
вершины
B и
C параллелограмма
ABCD перейдут в вершины
A и
D
соответственно, вершина
A – в некоторую точку
A1
, а данная
окружность
S – в равную ей окружность
S1
,
проходящую через точки
A ,
A1
и
D (рис.1). Следовательно, вершина
D
каждого параллелограмма
ABCD лежит на окружности
S1
. Обратно, для каждой
отличной от
A и
A1
точки
D окружности
S1
на окружности
S найдётся
такая точка
C , что четырёхугольник
ABCD – параллелограмм.
б) Поскольку диагонали параллелограмма делятся точкой их пересечения пополам,
точка
M пересечения диагоналей каждого параллелограмма
ABCD есть середина
хорды
AC (рис.2). Геометрическое место середин
M хорд
AC данной окружности (точка
A фиксирована, а точка
C – любая точка окружности, отличная от
A и
B )
есть окружность, гомотетичная данной с центром гомотетии
A и коэффициентом
, без точки
A и середины отрезка
AB .
Ответ
а) Окружность без двух точек; б) окружность без двух точек.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
5730 |
