Задача 110883

Темы:    [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Отношения площадей ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Признаки подобия ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC, таком, что  AB = BC = 4  и   AC = 2,  проведены биссектриса AA₁, медиана BB₁ и высота CC₁.
Найдите площадь треугольника, образованного пересечением прямых:   а) AC, AA₁ и CC₁;   б) AA₁, BB₁ и CC₁.

Решение

  Пусть прямые AA₁ и BB₁ пересекаются в точке K, прямые BB₁ и CC₁ – в точке L, прямые AA₁ и CC₁ – в точке M.

  а) По теореме Пифагора высота  BB₁ = .  Значит, высота CC₁ к боковой стороне в два раза меньше, то есть     Поэтому  
  Биссектриса AM делит эту площадь в отношении  1 : 4,  значит,  

  б) Прямоугольные треугольники AKB₁ и AMC₁ подобны с коэффициентом  AB₁ : AC₁ = 2,  поэтому  AK = 2AM.
  KB₁ = ⅕ BB₁.  Прямоугольные треугольники BCB₁ и CLB₁ подобны с коэффициентом   BB₁ : CB₁ = ,  поэтому     Следовательно,  

Ответ

а) ;   б) .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5747