Задача 110903

Темы:    [ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Окружность σ с центром в точке O на стороне AC треугольника ABC касается сторон AB и BC в точках D и E соответственно. Известно, что AD= 2CE , а угол DOE равен arcctg . Найдите углы треугольника ABC и отношение его площади к площади круга, ограниченного окружностью σ .

Решение

Обозначим ABC = β , BAC = α , ACB = γ , OD = OE = R , CE = x , BD=BE=y . Тогда AD = 2x ,

β = ABC = π - DOE = π- arcctg ,

tg β = tg (π- arcctg ) = - tg ( arcctg ) = - tg arctg 3 = -3.

sin β = = = .
Из прямоугольных треугольников AOD и COE находим, что
tg α = tg DAO = = , tg γ = tg ECO = = .
Тогда
tg (α + γ) = = = .
Тогда
-3 = tg β = tg (π - α-γ) = - tg (α+γ) = - ,
или R2+Rx-2x2 = 0 , откуда R=x . Значит,
tg γ = = 1, γ = , tg α = = , α = arctg = arcctg 2.
Применяя формулу tg β = , получим уравнение =-3 , из которого находим, что tg = . Из прямоугольного треугольника BOE находим, что
y=BE= OE ctg OBE = R ctg = = = .
Тогда
BC = BE+EC = y+x= +x= ,

AB= BD+AD = y+2x= +2x= ,

S_{Δ ABC} = AB· BC sin β = · · · = ,
а т.к. площадь круга радиуса R=x равна π x2 , то отношение площади треугольника ABC к площади круга равно .

Ответ

ABC = π- arcctg , ACB = , BAC = arcctg 2 , .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5875