Задача 110942

Темы:    [ Теорема о трех перпендикулярах ] [ Ортогональное проектирование ] [ Теорема синусов ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Два квадрата ABCD и KLMN расположены в пространстве так, что центр квадрата KLMN совпадает с серединой стороны AB . Точка A лежит на стороне LM и AM<AL , точка N равноудалена от точек B и C . Расстояние от точки M до ближайшей к ней точки квадрата ABCD равно 2 , а расстояние от точки K до ближайшей к ней точки квадрата ABCD равно 5. Найдите длины сторон квадратов ABCD и KLMN и расстояние от точки N до плоскости ABCD .

Решение

Пусть O – середина стороны AB квадрата ABCD (рис.2). Поскольку точка O – центр квадрата KLMN и точка A лежит на стороне ML этого квадрата, точка B , симметричная точке A относительно O , лежит на противоположной стороне KN квадрата KLMN , причём AM = BK = 5 . Обозначим AB =a , NBA = α . Пусть F – середина KN . Точка F лежит между точками N и B , т.к BK = AM < AL = BN . Из прямоугольных треугольников BOF и NOF находим, что

BF = BO cos FBO = cos α, FN = FO = BO sin FBO = sin α.
Поэтому
BN = BF+FN = cos α+ sin α= ( cos α+ sin α).
Пусть N' – ортогональная проекция точки N на плоскость квадрата ABCD (рис.1). Тогда N'B и N'C – проекции на плоскость ABCD равных наклонных NC и NB , поэтому N'B=N'C . Значит, высота N'Q равнобедренного треугольника BN'C является его медианой, т.е. BQ=CQ = . Пусть P – проекция точки N' на прямую AB пересечения плоскостей данных квадратов. Тогда NPN' – линейный угол двугранного угла между плоскостями квадратов. Обозначим NPN'=β . Из прямоугольных треугольников NPB и NN'P находим, что
NP = BN sin NBO = ( cos α+ sin α) sin α,

N'P = NP cos NPN' = ( cos α+ sin α) sin α cos β.
Поскольку BPN'Q – прямоугольник, N'P=BQ= , или
( cos α+ sin α) sin α cos β = ,
откуда
( cos α+ sin α) sin α cos β = 1.
Пусть M' – проекция точки M на плоскость квадрата ABCD , а G и H – проекции точки M' на прямые AB и AD соответственно. Тогда MGM' – также линейный угол между плоскостями данных квадратов, поэтому MGM'=β . Из прямоугольных треугольников AMG , MGM' и MM'H находим, что
AG = AM cos MAG = BK cos NBA = 5 cos α, MG = AM sin α = 5 sin α,

MM' = MG sin MGM' = 5 sin α sin β,

MH = = = 5,
а т.к. H есть ближайшая к M точка квадрата ABCD , то MH=2 , т.е.
5=2.
Из системы

находим, что tg α = или tg α = , а т.к.
α = NBO = BOK + BKO = BOK + 45^o>45^o
(по теореме о внешнем угле треугольника), то tg α > 1 , поэтому tg α = . Тогда
cos α = = , sin α = tg α cos α = ,

cos β = , sin β = , tg β = .
Применяя теорему синусов к треугольнику BOK получим, что
= , = .
Следовательно,
a = = = 10.
Пусть E – проекция точки A на прямую KN . Тогда
MN = AE = AB sin NBA = a sin α = 10· = 30.
Наконец, из прямоугольного треугольника NN'P находим, что
NN' = N'P tg β = · = · = 10.

Ответ

10 , 30, d = 10 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8834