Задача 110943

Темы:    [ Касающиеся сферы ] [ Куб ] [ Сфера, вписанная в трехгранный угол ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Сфера радиуса 13 касается граней ABCD , AA1D1D и AA1B1B куба ABCDA1B1C1D1 . Вторая сфера радиуса 5 касается граней ABCD , AA1D1D и CC1D1D куба и касается первой сферы. На ребре BC взята точка F , на продолжении ребра DC за точку C – точка E так, что CE=CD . Плоскость C1EF пересекает первую сферу по окружности, радиус которой в 2,6 раза больше радиуса окружности, по которой эта плоскость пересекает вторую сферу. Найдите отношение BF:FC .

Решение

Пусть сфера с центром O1 и радиусом R1=13 и сфера с центром O2 и радиусом R2=5 касаются в точке P (рис.1). Из условия задачи следует, что сферы касаются внешним образом. Линия центров двух касающихся сфер проходит через их точку касания, поэтому O1O2 = O1P+O2P = R1+R2 = 13+5=18 . Пусть Q1 и Q2 – центры окружностей, по которым плоскость C1EF (обозначим её α ) пересекает первую и вторую сферы соответственно, r1 и r2 – радиусы этих окружностей. Тогда O1Q1 и O2Q2 – перпендикуляры к плоскости α и = 2,6 = = , r2 = r1 . По теореме Пифагора

O1Q1= = ,

O2Q2= = = = O1Q1,
т.е. = = . Прямые O1O2 и Q1Q2 лежат в плоскости, проходящей через параллельные прямые O1Q1 и O2Q2 . Поэтому они пересекаются в некоторой точке K ( O1Q1 O2Q2 ). Пусть M1 и M2 – проекции точек соответственно O1 и O2 на AD . Обе сферы вписаны в прямой двугранный угол, образованный гранями куба с общим ребром AD , поэтому O1M1 = R1 и O2M2 = R2 . Значит,
= = = .
Прямые O1O2 и M1M2 лежат в плоскости, проходящей через параллельные прямые O1M1 и O2M2 . Поэтому они пересекаются в некоторой точке L ( O1M1 O2M2 ), причём точка L лежит на продолжении ребра AD за точку D и = = . Предположим, что точка K не лежит на отрезке O1O2 . Тогда она лежит на продолжении этого отрезка за точку O2 ( O2Q2<O1Q1 ), причём = = = = . Следовательно, точка K совпадает с L , что невозможно, т.к. плоскость α , проходящая через точки C1 , E и L , не пересекает ребро BC . Таким образом, точка K лежит на отрезке O1O2 , а т.к. = == , то K совпадает P . Из прямоугольной трапеции O1M1M2O2 находим, что
M1M2 = = = = = 14,
а т.к. AM1 = R1=13 и DM2=R2=5 , то
AB = AM1+M1M2+DM2 = 13+14+5 = 32.
Пусть T – проекция точки P на ребро AD , а N точка пересечения диагонали O1M прямоугольной трапеции O1M1M2O2 с отрезком PT . Тогда
PT=PN+NT = · O2M2+· O1M1= · 5 +· 13=,

M2T =M1M2 = · 14 = , DT = M2T+M2D = +5=.
Центры O1 и O2 сфер лежат в биссекторной плоскости прямого двугранного угла, образованного гранями куба с общим ребром AD , т.е. в плоскости диагонального сечения ADC1B1 (рис.3). Значит, точка P касания сфер, лежащая на отрезке O1O2 , также расположена в этой плоскости. Поэтому плоскости ADC1B1 и α пересекаются по прямой C1P . Пусть эта прямая пересекает ребро AD в точке H . Из подобия прямоугольных треугольников PTH и C1DH следует, что = , или = , откуда
DH = = = .
Точка C – середина отрезка DE , поэтому FC – средняя линия треугольника EHD , значит, FC = DH = . Следовательно,
= = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8835