Задача 110982

Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В равнобедренный треугольник ABC  (AB = BC)  вписана окружность. Прямая, параллельная стороне AB и касающаяся окружности, пересекает сторону AC в такой точке M, что  MC = ⅖ AC.  Найдите радиус окружности, если периметр треугольника ABC равен 20.

Решение

  Пусть указанная касательная пересекает сторону BC в точке N, а окружность касается прямых MN, AC и BC в точках K, Q и S соответственно. Обозначим  AC = 2b,  BC = AB = a.  По теореме о равенстве отрезков касательных, проведённых к окружности из одной точки,  CS = CQ = b,
MK = MQ,  NK = NS.
  Пусть P' и  P = 20  – периметры подобных треугольников MNC и ABC. Тогда
P' = CM + MN + CN = CM + (MK + NK) + CN = (CM + MK) + (NK + CN) = (CM + MQ) + (NS + CN) = CQ + QS = b + b = 2b,  P' : P = CM : AC,  или
^b/₁₀ = ⅖.  Отсюда  b = 4,  a = ½ (P – 2b) = 6.
  Пусть r – радиус вписанной окружности. Центр O этой окружности лежит на высоте BQ треугольника ABC, поэтому  OQ = r.  По теореме Пифагора
BQ² = BC² – CQ² = 20,  а так как CO – биссектриса треугольника BQC, то OQ : OB = CQ : BC = 2 : 3.
  Следовательно,  r = ⅖ BQ = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5864