|
|
 |
Условие
Найдите все такие натуральные (a, b), что a2 делится на натуральное число 2ab2 – b3 + 1.
Решение
Пусть a2 = k(2ab2 – b3 + 1) (k – натуральное число). По условию 2ab2 – b3 + 1 > 0, откуда a ≥ b/2. Кроме того, a2 > b2(2a – b). Следовательно, a > b или 2a = b. (*)
У уравнения a2 – 2kb2a + k(b3 – 1) = 0 два решения a1 ≥ a2, причём a1a2 = k(b3 – 1), a1 + a2 = 2kb2. Так как одно из решений – натуральное, то другое – целое неотрицательное. Тогда a1 ≥ kb2 > 0 и кроме того,
Из условий (*) получаем, что a2 = 0 либо a2 = b/2.
В первом случае b = 1, a1 = 2k.
Во втором случае, подставляя в уравнение, получаем b2 = 4k. Значит, k = n2, b = 2n, a2 = n, a1 = 2kb2 – a2 = 8n4 – n.
Ответ
(2n, 1), (n, 2n), (8n4 – n, 2n), где n – любое натуральное число.
