Задача 111041

Темы:    [ Шестиугольники ] [ Неравенства с медианами ] [ Неравенства для углов треугольника ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ]

Сложность: 6- Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Фольклор

Каждая пара противоположных сторон данного выпуклого шестиугольника обладает следующим свойством: расстояние между серединами равно /2 умноженное на сумму их длин. Докажите, что все углы в шестиугольнике равны.

Решение

Доказательство.
Лемма.
Рассмотрим треугольник Δ PQR с углом QPRπ/3 , L - середина QR . Тогда PLQR/2 причем равенство достигается только для правильного треугольника.
Доказательство леммы. Рассмотрим равносторонний треугольник QRS такой, что точки P и S лежат по одну сторону от прямой QR . Ясно, что тогда P лежит внутри описанной около треугольника QRS окружности, а, значит, и внутри круга с центром L и радиусом QR/2 . Лемма доказана.
Вернемся к решению задачи. Без ограничения общности можно считать что главные диагонали AD и BE шестиуглольника ABCDEF образуют угол π/3 . P - их точка пересечения. Воспользуемся нашей леммой. Имеем

MN=/2(AB+DE) PM+PN MN.
( M , N - середины сторон AB и DE соответственно. Из леммы следует, что треугольники ABP и DEP равносторонние.
Диагональ CF образует угол π/3 с диогональю AD либо с BE . В силу симметрии, без ограничения общности можно считать, что AQFπ/3 , где Q - точка пересечения диагоналей AD и CF . Точно также, как и раньше, воспользуемся леммой и получим, что треугольники AQF и CQD являются равносторонними. Следовательно, BRC=π/3 , где R - точка пересечения BE и CF . Аналогично устанавливается равносторонность треугольников BCR и EFR . Задача решена.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Международная Математическая Олимпиада
год
Год	2003
задача
Номер	3