ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111065
Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

  На стороне AB выпуклого четырёхугольника ABCD выбрана точка M так, что  ∠AMD = ∠ADB  и  ∠ACM = ∠ABC.  Утроенный квадрат отношения расстояния от точки A до прямой CD к расстоянию от точки C до прямой AD равен 2,  CD = 20.  Найдите радиус вписанной окружности треугольника ACD.


Решение

  Пусть hA – расстояние от точки A до прямой CD, а hC – расстояние от точки C до прямой AD. По условию  
  Поскольку высоты треугольника ACD обратно пропорциональны сторонам, на которые они опущены, то  
  Треугольники AMD и ADB подобны по двум углам. Также подобны треугольники ABC и ACM. Поэтому  AM : AD = AD : AB,  AM : MC = AC : AB,   откуда  AD² = AM·AB = AC².
  Значит,  AD = AC,  то есть треугольник ACD – равнобедренный. Пусть p – полупериметр этого треугольника, r – радиус вписанной окружности. Тогда  
  Следовательно,  


Ответ

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4420

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .