ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111078
Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]
[ Формула Эйлера ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC проведены биссектрисы AE и CD . Найдите длины отрезков CD , CE , DE и расстояние между центрами окружностей, вписанной в треугольник ABC и описанной около треугольника ABC , если AC=2 , BC=4 , ACB = arccos .

Решение

Обозначим ACB = γ , ABC = β . По условию задачи cos γ = . Тогда

sin γ = = = .


По теореме косинусов
AB = = = =3.

По свойству биссектрисы треугольника
= ==, = =,

поэтому
AD = AB=1, BD=AB=2, CE = BC = · 4=, BE=.

По формуле для биссектрисы треугольника
CD = == .


Пусть R — радиус описанной окружности треугольника ABC . По теореме синусов
R=== , sin β = == .

Тогда cos β = . Из треугольника BDE по теореме косинусов находим, что
DE== = .


Пусть r — радиус вписанной окружности треугольника ABC , p — полупериметр треугольника, S — площадь. Тогда
p==, S=AC· BC sin γ = · 2· 4· = .

Следовательно,
r=== .


Пусть вписанная окружность с центром Q касается стороны AC треугольника ABC в точке M , а N — середина этой стороны. Тогда
CM=p-AB=-3=, MN=|CM-CN|=-1=.

По теореме Пифагора
ON = = = = .


Искомый отрезок OQ есть большая боковая сторона прямоугольной трапеции MNOQ с основаниями MQ и ON . Пусть F — основание перпендикуляра, опущенного из точки Q на ON . Тогда
OF = ON-FN = ON-QM = - = , QF=MN =.

Следовательно,
ρ= OQ = = = 2.


Указание. Для нахождения расстояния между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника можно воспользоваться формулой Эйлера:
ρ = .


Ответ

CD= , CE= , DE= , ρ = 2 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 5763

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .