ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 111078
УсловиеВ треугольнике ABC проведены биссектрисы AE и CD . Найдите длины отрезков CD , CE , DE и расстояние между центрами окружностей, вписанной в треугольник ABC и описанной около треугольника ABC , если AC=2 , BC=4 , ACB = arccos .РешениеОбозначим ACB = γ , ABC = β . По условию задачи cos γ = . ТогдаПо теореме косинусов По свойству биссектрисы треугольника поэтому По формуле для биссектрисы треугольника Пусть R — радиус описанной окружности треугольника ABC . По теореме синусов Тогда cos β = . Из треугольника BDE по теореме косинусов находим, что Пусть r — радиус вписанной окружности треугольника ABC , p — полупериметр треугольника, S — площадь. Тогда Следовательно, Пусть вписанная окружность с центром Q касается стороны AC треугольника ABC в точке M , а N — середина этой стороны. Тогда По теореме Пифагора Искомый отрезок OQ есть большая боковая сторона прямоугольной трапеции MNOQ с основаниями MQ и ON . Пусть F — основание перпендикуляра, опущенного из точки Q на ON . Тогда Следовательно, Указание. Для нахождения расстояния между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника можно воспользоваться формулой Эйлера: ОтветCD= , CE= , DE= , ρ = 2 .Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|