Задача 111113

Темы:    [ Ортоцентрический тетраэдр ] [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Высоты тетраэдра пересекаются в одной точке (такой тетраэдр называется ортоцентрическим). Докажите, что точка пересечения медиан, точка пересечения высот и центр описанной сферы лежат на одной прямой.

Решение

Пусть M1 – точка пересечения медиан грани ABC ортоцентрического тетраэдра ABCD (рис.1), H1 – ортоцентр треугольника ABC , O1 – центр описанной окружности этого треугольника. Известно, что точки M1 , H1 и O1 лежат на одной прямой (прямая Эйлера треугольника ABC ), причём точка M1 лежит между точками O1 и H1 и M1H1=2M1O1 . Поскольку тетраэдр ортоцентрический, его высоты пересекаются в одной точке. Обозначим её H . Тогда точка H лежит на высоте DH1 . Центр O сферы, описанной около тетраэдра расположен на прямой, перпендикулярной плоскости основания ABCD и проходящей через центр O1 описанной окружности треугольника ABC . Прямые DH1 и OO1 параллельны, т.к. они перпендикулярны одной и той же плоскости. Плоскость, проходящая через эти прямые, содержит точки H1 и O1 , а значит, и точку M1 , лежащую на прямой H1O1 . Поэтому медиана DM1 тетраэдра также лежит в этой плоскости. Следовательно, этой плоскости принадлежит и точка M пересечения медиан тетраэдра. Таким образом, точки H , O и M расположены в плоскости, проходящей через вершину D тетраэдра ABCD и прямую Эйлера треугольника ABC . Аналогично докажем, что плоскость, проходящая через любую другую вершину тетраэдра и прямую Эйлера противолежащей грани, содержит точки H , O и M , т.е. точки H , O и M лежат в каждой из четырёх указанных плоскостей, а т.к. эти плоскости не могут совпасть (вершины тетраэдра не лежат в одной плоскости), то их пересечением является прямая. Следовательно, точки H , O и M лежат на этой прямой. Что и требовалось доказать. Докажем теперь, что M – середина отрезка OH . Для этого рассмотрим сечения тетраэдра плоскостью, проходящей через вершину D и прямую Эйлера основания ABC (рис.2). Известно, что точка M пересечения медиан тетраэдра делит каждую медиану в отношении 3:1, считая от вершины, поэтому MM1= DM1 . Пусть P – проекция точки M на прямую O1H1 . Положим O1H1=6x . Тогда

M1O1= 2x, M1H1= 4x, M1P = M1H1=x, H1P = 4x-x = 3x, PO1= x+2x= 3x.
Значит, P – середина отрезка O1H1 , а т.к. MP || HH1 || OO1 , то M – середина отрезка OH . Что и требовалось доказать.

Рассмотрим вектор = + + (рис.3). Так как
= ( + + ),
то = 3 , поэтому точки O , M1 и K расположены на одной прямой и M1K = 2OM1 . Проведём плоскость α через параллельные прямые DH1 и OO1 (эти прямые перпендикулярны одной и той же плоскости ABC ). Тогда треугольники KH1M1 и OO1M1 , расположенные в плоскости α , подобны ( M1K = 2OM1 , M1H1 = 2M1O1 , KM1H1 = OM1O1 ), поэтому H1K || OO1 . Следовательно, точка K лежит на прямой DH1 . Рассмотрим вектор
= ( + + + ) = ( + ).
Точка Q , середина отрезка DK , лежит на высоте DH1 . Аналогично, точка Q лежит на остальных трёх высотах тетраэдра ABCD , т.е. Q совпадает с H . Так как
= ( + + + ),
то = 2 , следовательно, точки O , M и H лежат на одной прямой, причём M – середина отрезка OH .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	7995