Условие
Докажите, что высоты тетраэдра пересекаются в одной точке
(ортоцентрический тетраэдр)}тогда и только тогда, когда отрезки,
соединяющие середины противолежащих рёбер, равны.
Решение
Необходимость.}Пусть тетраэдр
ABCD – ортоцентрический. Тогда его
противолежащие рёбра попарно перпендикулярны:
AB 
CD ,
AC BD
и
AD BC . Достроим тетраэдр
ABCD до параллелепипеда
AKBLNDMC
(
AN || KD || BM || LC ), проведя через
его противоположные рёбра пары параллельных плоскостей.
Так как
KL || CD , то
KL AB , поэтому параллелограмм
AKBL
– ромб, значит,
AK=KB=BL=AL . Аналогично,
AK=KD=DN=AN и
AL=LC=CN=AN .
Следовательно, все рёбра параллелепипеда
AKBLNDMC равны.
Пусть
P и
Q – середины противоположных рёбер
AB и
CD
тетраэдра
ABCD , т.е. центры противоположных граней
AKBL и
CMDN
параллелепипеда
AKBLNDMC . Тогда
PQ – отрезок, соединяющий середины
противоположных сторон
AB и
MN параллелограмма
ABMN . Значит,
PQ = AN ,
т.е. отрезок
PQ равен ребру параллелепипеда.
Аналогично, остальные отрезки, соединяющие середины противолежащих
рёбер тетраэдра, также равны ребру параллелепипеда.
Достаточность.}Пусть отрезки, соединяющие середины противолежащих рёбер
тетраэдра
ABCD , равны. Достроим тетраэдр
ABCD до параллелепипеда
AKBLNDMC
(
AN || KD || BM || LC ), проведя через
его противоположные рёбра пары параллельных плоскостей.
Пусть
P и
Q – середины противоположных рёбер
AB и
CD
тетраэдра
ABCD , т.е. центры противоположных граней
AKBL и
CMDN
параллелепипеда
AKBLNDMC . Тогда
PQ – отрезок, соединяющий середины
противоположных сторон
AB и
MN параллелограмма
ABMN . Значит,
PQ = AN ,
т.е. отрезок
PQ равен ребру параллелепипеда.
Аналогично, остальные отрезки, соединяющие середины противолежащих
рёбер тетраэдра, также равны ребру параллелепипеда. Поскольку эти отрезки
равны между собой, все рёбра параллелепипеда также равны. Значит, все грани
параллелепипеда – ромбы. Тогда противоположные рёбра тетраэдра
попарно перпендикулярны. Следовательно, тетраэдр – ортоцентрический.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
7996 |
