Задача 111117

Темы:    [ Объем помогает решить задачу ] [ Тетраэдр и пирамида ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Докажите, что произведение длин двух противоположных рёбер тетраэдра, делённое на произведение синусов двугранных углов тетраэдра, соответствующих этим рёбрам, для данного тетраэдра постоянно (теорема синусов для тетраэдра}.

Решение

Пусть a и b – противоположные рёбра тетраэдра, α и β – двугранные углы с рёбрами a и b соответственно, S1 и S2 – площади граней с общим ребром a , V – объём тетраэдра. Тогда V=· . Если S3 и S4 – площади двух остальных граней тетраэдра, то V=· . Перемножив почленно два этих равенства, получим, что

V2 = · .
Аналогично, если c и d – два других противоположных ребра тетраэдра, а γ и δ – соответствующие им двугранные углы, то
V2 = · .
Следовательно,
· = · ,
откуда
= .
Что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	7999