Высота равногранного тетраэдра равна h, а высота грани делится точкой пересечения высот этой грани на отрезки, равные h₁ и h₂. Докажите, что h² = 4h₁h₂.
Решение
(Решение А. Буряка.) Пусть ACB₁D₁ ─ равногранный тетраэдр. Проведя пары параллельных плоскостей через скрещивающиеся прямые AC и B₁D₁, AD₁ и CB₁, AB₁ и CD₁, достроим его до параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁. Этот параллелепипед прямоугольный, так как все его грани ─ параллелограммы с равными диагоналями, т. е. прямоугольники.
Известно, что плоскость AB₁C делит диагональ BD₁ в отношении 1 : 2, считая от точки B. Значит, расстояние от точки D₁ до этой плоскости, т.е. высота тетраэдра ACB₁D₁ вдвое больше расстояния до этой плоскости от точки B. Пусть BH ─ перпендикуляр, опущенный из точки B на плоскость AB₁C.
Тогда BH =
h
2
.
Рассмотрим тетраэдр ABCB₁. Его противоположные рёбра попарно перпендикулярны, поэтому его высоты пересекаются в одной точке, т.е. этот тетраэдр ─ ортоцентрический. Значит, каждая его высота, в частности BH, проходит через ортоцентр грани. Поэтому H ─ ортоцентр треугольника AB₁C.
Пусть прямая AH пересекает B₁C в точке M. Тогда AH = h₁ и MH = h₂, а так как прямая AB перпендикулярна плоскости BCB₁, то AB ⊥ BM. Тогда BH ─ высота прямоугольного треугольника ABM, проведённая из вершины прямого угла. Следовательно,
