Пусть V ─ объём тетраэдра, S₁ и S₂ ─ площади двух граней, a ─ длина их общего ребра, φ ─ величина двугранного угла между
ними. Докажите, что V =
2
3
·
S₁S₂ sin φ
a
.
Решение
Пусть ребро AB тетраэдра ABCD равно a, угол между гранями ABC и ABD равен φ, S△ABC = S₁, S△ABD = S₂.
Если DH ─ высота тетраэдра, опущенная на основание ABC, а HM ─ перпендикуляр, опущенный из точки H на AB, то по теореме о трёх перпендикулярах DM ⊥ AB. Значит, DMH ─ линейный угол двугранного угла тетраэдра при ребре AB. Поэтому ∠DMH = φ. Тогда
