Задача 111143

Темы:    [ Объем тетраэдра и пирамиды ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Вспомогательная окружность ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Условие

Дана сфера радиуса 1 с центром в точке O . Из точки A , лежащей вне сферы, проведены четыре луча. Первый луч пересекает поверхность сферы последовательно в точках B1 и C1 , второй – в точках B2 и C2 , третий – в точках B3 и C3 , четвёртый – в точках B4 и C4 . Прямые B1B2 и C1C2 пересекаются в точке E , прямые B3B4 и C3C4 – в точке F . Найдите объём пирамиды OAEF , если AO=2 , EO=FO=3 , а угол между гранями AOE и AOF равен 30^o .

Решение

Рассмотрим сечение сферы плоскостью, проходящей через пересекающиеся прямые B1C1 и B2C2 (рис.2). Получим вписанный четырёхугольник B1B2C2C1 . Опишем окружности около треугольников AB1B2 и EC2B2 . Пусть M – вторая точка пересечения этих окружностей. Докажем, что точка M лежит на отрезке AE . Обозначим, EMB2= α . Суммы противоположных углов вписанного четырёхугольника равны 180^o , поэтому

C1C2B2 = 180^o- EC2B2 = α,

AB1B2 = 180^o- C1B1B2 = α,

AMB2 = 180^o- AB1B2 = 180^o-α.
Значит, EMB2+ AMB2 = 180^o . Следовательно, точка M лежит на отрезке AE . При этом AE· AM=AC2· AB2 , т.к. если из точки, расположенной вне окружности, проведены к этой окружности секущие, то произведение всей секущей на её внешнюю часть постоянно. Пусть R – радиус сферы. Рассмотрим также сечение сферы плоскостью, проходящей через её центр O и прямую B2C2 . Пусть луч AO пересекает сферу в точках P и Q (рис.3). Тогда
AE· AM = AC2· AB2 = AQ· AP = (AO+R)(AO-R) = AO2-R2 = 4-1=3.
Аналогично,
AE· EM = EB2· EB1 = (EO+R)(EO-R) = EO2-R2 = 8.
Тогда
AE2 = AE(AM+EM) = AE· AM+ AE· EM = 3+8 = 11.
Аналогично получим, что AF2=11 . По формуле Герона
S_{Δ AOE}=S_{Δ AOF} = =

= = .
Если S1 и S2 – площади граней тетраэдра, ϕ – угол между этими гранями, а a – их общее ребро, то объём V тетраэдра можно вычислить по формуле V=· (рис.4). Следовательно,
V_OAEF =· = · = = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8635