Задача 111145

Темы:    [ Объем тела равен сумме объемов его частей ] [ Объем тетраэдра и пирамиды ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Выпуклый многогранник ABCDFE имеет пять граней: CDF , ABE , BCFE , ADFE и ABCD . Ребро AB параллельно ребру CD . Точки K и L расположены соответственно на рёбрах AD и BC так, что отрезок KL делит площадь грани ABCD пополам. Точка M является серединой ребра EF и вершиной пирамиды MABCD , объём которой равен 6. Найдите объём пирамиды EKLF , если известно, что объём многогранника ABCDFE равен 19.

Решение

Пусть E1 , M1 и F1 – ортогональные проекции точек соответственно E , M и F на плоскость параллельных прямых AB и CD . Тогда EE1 – высота четырёхугольной пирамиды EAKLB с вершиной E , MM1 – высота четырёхугольной пирамиды MABCD с вершиной M , FF1 – высота четырёхугольной пирамиды FCDKL с вершиной F . Обозначим EE1=a , MM1=b , FF1=c , S_ABCD = S . Из условия задачи следует, что V_ABCD = S· b = 6 . Поскольку M – середина отрезка EF , M1 – середина отрезка E1F1 . Поэтому

b = MM1 = (EE1+FF1) = .
Тогда
V_EKLF = V_ABCDFE - V_EAKLB-V_FCDKL = 19-S_ABLK· a -S_CDKL· c=

=19-(S· a + S· c)= 19-S· = 19-S· b =

=19-V_MABCD = 19-6 = 13.

Ответ

13.00

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8637