Задача 111175

Темы:    [ Сечения, развертки и остовы ] [ Правильная призма ] [ Теорема синусов ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

На продолжении за точку A1 ребра AA1 правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 ( ABC – основание) взята точка M . Через точку M и точку K – середину ребра BC проведена плоскость α , пересекающая ребро AC в точке K1 так, что угол KK1M равен arctg . Известно, что сечение призмы плоскостью α – пятиугольник KK1K2K3K4 , у которого K1K2= , KK1= , K2K3 = . Найдите объём призмы.

Решение

По теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей плоскостью KK1 || K2K3 . Обозначим KK1K2 = KK1M = γ . Тогда

tg γ = , cos γ = = = = .
Расмотрим пятиугольник KK1K2K3K4 . Пусть P – основание перпендикуляра, опущенного из вершины K2 на прямую K1K . Поскольку угол KK1K2 острый, точки P и K лежат на луче K1K . Из прямоугольного треугольника K1PK2 находим, что
K1P = K1K2 cos K2K1P = cos γ= · = .
Тогда
PK=KK1-K1P= -== K2K3.
Это значит, что четырёхугольник KPK2K3 – параллелограмм. Значит, K1KK3 = K1PK2 = 90^o . Пусть E и F – ортогональные проекции на плоскость основания ABC точек K2 и K3 соответственно. По теореме о трёх перпендикулярах FK KK1 . Обозначим AB=a , CKK1 = ϕ , AF=x . По свойству параллельного проектирования EF || KK1 , поэтому KFE = FKK1 = 90^o . По теореме о внешнем угле треугольника AK1K = 60^o+ϕ , поэтому AEF = AK1K = 60^o+ϕ , а т.к. FKK1=90^o , то FKB = 180^o-90^o-ϕ = 90^o-ϕ . Применяя теорему синусов к треугольникам KCK1 , AEF и KBF , получим, что
= , = , = ,
или
= , = , = .
Разделив почленно первое из этих равенств на второе, найдём, что x=a . Подставив найденное значение x в третье равенство, получим уравнение = , или 3 cos ϕ = 5 sin ϕ , откуда находим, что tg ϕ = . Тогда
cos ϕ = , sin ϕ = ,

sin (60^o+ϕ) = ( cos ϕ+ sin ϕ)= (· + )= ,

cos (60^o+ϕ) = = = .
Поэтому
a = · 2 sin (60^o+ϕ)= · = 3.
Пусть P – проекция точки E на прямую KK1 . Тогда
PK1 = KK1-PK = KK1-EF = -= .
Из прямоугольных треугольников K1PE и K1K2E находим, что
K1E = = = = ,

K2E = = = .
Значит, высота h призмы равна , а площадь S основания – = = . Следовательно,
V_призмы = Sh= · = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8827