|
|
 |
Условие
Через середину ребра AC правильной треугольной пирамиды SABC (S – вершина) проведены плоскости α и β, каждая из которых образует угол 30° с плоскостью ABC. Найдите площади сечений пирамиды SABC плоскостями α и β, если эти сечения имеют общую сторону длины 1, лежащую в грани ABC, а плоскость α перпендикулярна ребру SA.
Решение
Пусть O – центр основания ABC, N, E, M – середины рёбер AB, BC, AC соответственно, K – точка пересечения плоскости α с ребром AS.
Средняя линия MN равностороннего треугольника ABC перпендикулярна медиане AE и, следовательно, ребру AS (по теореме о трёх перпендикулярах). Значит, плоскость α пересекает плоскость основания пирамиды по прямой MN. По условию MN = 1 (откуда BC = 2). По теореме о площади проекции
По условию задачи обе плоскости сечения проходят через прямую MN, значит, сечения симметричны относительно плоскости ASE. Следовательно, сечение пирамиды плоскостью β – равнобедреная трапеция MPQN (P и Q – точки пересечения этой плоскости с боковыми рёбрами CS и BS). Пусть L и T – середины оснований MN и PQ этой трапеции.
Заметим, что ∠SAE = 90° – ∠SAE = 60°. Пусть Тогда AO = 2h, AS = 2h : cos 60° = 4h. Согласно задаче 56798 длина биссектрисы AF треугольника ASE равна
Поскольку ∠TLE = 30°, то LT – средняя линия треугольника FAE, поэтому
LT = ½ AF = 6/7.
По свойству биссектрисы SF : FE = AS : AE = 4 : 3. Значит, TE = ½ FE = 3/14 SE.
Из подобия треугольников SPQ и SCB находим, что
PQ = BC·ST/SE = 2·11/14 = 11/7. Следовательно, SMPQN = ½ (MN + PQ)·LT =
½ (1 + 11/7)·6/7 = 54/49.
Ответ
3/8, 54/49.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 8888 |
