Задача 111214

Темы:    [ Площадь и объем (задачи на экстремум) ] [ Правильная пирамида ] [ Частные случаи параллелепипедов (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Внутри правильной треугольной пирамиды расположена прямая призма, в основании которой лежит ромб. Одна из граней призмы принадлежит основанию пирамиды, другая грань – боковой грани пирамиды. Какой наибольший объём может иметь призма, если ребро основания пирамиды равно 2, а высота пирамиды равна 2 ?

Решение

Боковая грань правильной пирамиды не параллельна и не перпендикулярна плоскости основания, поэтому соседние боковые грани призмы лежат в боковой грани и в основании пирамиды. Тогда одно из боковых рёбер, например, KK1 , призмы KLMNK1L1M1N1 лежит на ребре AB основания ABC правильной пирамиды DABC , боковая грань KK1N1N призмы – на основании ABC пирамиды, а боковая грань KK1L1L – на боковой грани ABD пирамиды. Поскольку противоположные боковые грани призмы попарно параллельны, боковая грань LL1M1M лежит в сечении пирамиды плоскостью, параллельной плоскости основания. Пусть A1B1C1 – это сечение. Тогда из всех таких призм наибольший объём имеет призма, у которой вершины M и M1 лежат на сторонах соответственно A1C1 и B1C1 сечения A1B1C1 . Пусть высота DH пирамиды пересекает плоскость A1B1C1 в точке O , P – середина стороны AB , F – середина A1B1 , E – проекция точки F на плоскость ABCD . Обозначим KL=KN = x , = y , DPH = β . Тогда

PH = CH = · = , ctg LKN = ctg β = = = ,

sin β = = = , FE = OH = (1-y)DH = 2(1-y),

LL1 = A1B1-2LB1 = y· AB - 2· = 2y-,

x = KN = KL = PF= = = ,
откуда находим, что y= . Тогда
LL1 = 2y-= -= ,

V_KLMNK1L1M1N1 = V(x) = KL· KN sin β LL1 = x2· · =

=· x2(5-8x) = · 4x· 4x(5-8x)

()3 = ()3 =,
причём равенство достигается, если 4x=5-8x , x= , т.е. при
= y = = =.
Следовательно, искомое наибольшее значение объёма равно .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8896