Задача 111239

Темы:    [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 3- Классы: 7,8,9

Условие

Существуют ли натуральные числа m и n, для которых верно равенство:  (–2aⁿbⁿ)^m + (3a^mb^m)ⁿ = a⁶b⁶ ?

Решение

Действительно, при  m = 3,  n = 2,  (–2aⁿbⁿ)^m + (3a^mb^m)ⁿ + (– 2a²b²)³ + (3a³b³)² = – 8a⁶b⁶ + 9a⁶b⁶ = a⁶b⁶.

Ответ

Существуют.

Замечания

  Докажем, что приведённый ответ – единственный.
  Преобразуем левую часть данного равенства:  (–2aⁿbⁿ)^m + (3a^mb^m)ⁿ = (–2)^ma^mnb^mn + 3ⁿa^mnb^mn = ((–2)^m + 3ⁿ)a^mnb^mn.
  Для того, чтобы исходное равенство было верным, необходимо, чтобы  mn = 6  и  (–2)^m + 3ⁿ = 1.  При любых натуральных n  3ⁿ > 1,  поэтому
(–2)^m < 0.  Следовательно, m – нечётное число. У числа 6 есть только два натуральных нечётных делителя: 1 и 3. Значит, возможны два случая:  m = 1,
n = 6  или  m = 3,  n = 2.  Проверкой убеждаемся, что в первом случае равенство не выполняется, а во втором – выполняется.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Окружная олимпиада (Москва)
год
Дата	2008
класс
Класс	7
задача
Номер	2293576