Задача 111248

Темы:    [ Турниры и турнирные таблицы ] [ Четность и нечетность ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Условие

Автор: Лифшиц Ю.

Шестнадцать футбольных команд из шестнадцати стран провели турнир – каждая команда сыграла с каждой из остальных по одному матчу.
Могло ли оказаться так, что каждая команда сыграла во всех странах, кроме своей родины?

Решение

Предположим, что такое возможно. Поскольку каждая команда провела 15 матчей и играла в каждой стране, кроме своей, то в каждой чужой стране она провела ровно по одной игре. Тогда в каждой стране побывало по одному разу ровно 15 команд. Но в каждом матче участвуют две команды, поэтому количество команд, сыгравших в каждой стране, должно быть чётным. Противоречие.

Ответ

Не могло.

Замечания

Задача предлагалась также в 2001 г. на XVIII Уральском турнире юных математиков.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Окружная олимпиада (Москва)
год
Дата	2008
класс
Класс	8
задача
Номер	5