Условие
Найдите угол при вершине осевого сечения прямого кругового конуса, если известно, что существуют три образующие
боковой поверхности конуса, попарно перпендикулярные друг другу.
Решение
Из
условия задачи следует, что в данный конус может быть вписана треугольная пирамида
РАВС ,
у которой равны боковые ребра
РА ,
РВ и
РС , и все плоские углы при вершине
Р – прямые (см. рис. 11.3).
Следовательно, эта пирамида– правильная и ее высотой является отрезок
РО , где
О – центр основания конуса.
Тогда искомый угол
BPD вдвое больше угла
ВРО .
Пусть
PB = b , тогда
BC = b
;
OB=
=
.
Тогда
sin
BPO=
=
;
BPD = 2
arcsin .
Если вычислять искомый угол по теореме косинусов из треугольника
BPD, то ответ можно получить в другом виде
BPD = arccos
= arccos(
-
)
=π - arccos .
В любом случае искомый угол– тупой.
Ответ
2
arcsin .
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Окружная олимпиада (Москва) |
|
год |
|
Дата |
2008 |
|
класс |
|
Класс |
11 |
|
задача |
|
Номер |
2293576 |
