Информация о задаче

Задача 111290

Темы:	[	Углы между прямыми и плоскостями	]
	[	Расстояние между скрещивающимися прямыми	]
	[	Сфера, описанная около тетраэдра	]
	[	Правильный тетраэдр	]
	[	Объем помогает решить задачу	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Ребро правильного тетраэдра ABCD равно a, точка K ─ середина ребра AB, точка E лежит на ребре CD и EC : ED = 1 : 2, точка F ─ центр грани ABC. Найдите угол между прямыми BC и KE, расстояние между этими прямыми и радиус сферы, проходящей через точки A, B, E и F.

Решение

Рис. 1
Рис. 2
Через точку K проведём прямую, параллельную ребру BC (рис. 1). Пусть эта прямая пересекает ребро AC в точке M. Тогда M ─ середина ребра AC, KM = ½BC = ½a.

По определению угла между скрещивающимися прямыми, угол между прямыми BC и KE равен углу между пересекающимися прямыми KM и KE. Обозначим ∠EKM = φ, ∠DCF = α. Из прямоугольного треугольника CFD находим, что

cos α =
CF
CD
=
a/√ 3
a
=
1
√ 3
.

По теореме косинусов

EM² = CE² + CM² − 2CE · CM cos 60° =
=
1
9
a² +
1
4
a² − 2 ·
1
3
a ·
1
2
a ·
1
2
=
7
36
a²,

KE² = CE² + CK² − 2CE · CK cos α =
=
1
9
a² +
3
4
a² − 2 ·
1
3
a ·
a√ 3
2
·
1
√ 3
=
19
36
a².

Следовательно,

cos φ =
KE² + KM² − EM²
2KE · KM
=
19
36
a² +
1
4
a² −
7
36
a²
    2 ·
√ 19
6
a ·
1
2
a
=
7
2√ 19
.

Тогда

sin φ =
√ 1 − cos² φ
=
√
1 −
49
76
=
3√ 3
2√ 19
.

Пусть V ─ объём тетраэдра ABCD. Тогда

V =
1
3
S_△ABC· DF =
1
3
·
a²√ 3
4
· a
√
2
3
=
a³√ 2
12
.

Если E₁ ─ ортогональная проекция точки E на плоскость ABC, то

V_BCKE=
1
3
S_△BCK· EE₁ =
1
3
·
1
2
S_△ABC·
1
3
DF =

=
1
6
· (
1
3
S_△ABC· DF ) =
1
6
V =
a³√ 2
72
.

С другой стороны, если d ─ расстояние между прямыми BC и KE, то

V_BCKE=
1
6
BC · KE · d · sin φ =
1
6
·
a√ 19
6
· d ·
3√ 3
2√ 19
=
a²d√ 3
24
.

Из уравнения
a²d√ 3
24
=
a³√ 2
72
находим, что d =
a√ 6
9
.

Центр O сферы радиуса R, проходящей через точки A, B, E и F, лежит на прямой, перпендикулярной плоскости ABF и проходящей через центр Q окружности, описанной около треугольника ABF. Заметим, что Q ─ точка, симметричная точке F (рис. 2) относительно
прямой AB ( так как QA = QB = QF = FC =
a
√ 3
) . Обозначим OQ = x. Из прямоугольного треугольника AQO находим, что

R² = OA² = OQ² + AQ² = x² +
a²
3
.

Рассмотрим сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через параллельные прямые EE₁ и OQ. Если P ─ ортогональная проекция точки E на прямую OQ, то

R² = OE² = OP² + PE² = |OQ − OP|² + QE² = |OQ − EE₁|² + (QF + FE)² = (OQ − ⅓DF)² + (FC + ⅔FC)² =

= ( x −
1
3
a
√
2
3
)
²

+ (
5
3
·
a
√ 3
)
²

= ( x −
a√ 2
3√ 3
)
²

+ (
5a
3√ 3
)
²

= x² −
2ax√ 2
  3√ 3
+
2a²
27
+
25a²
27
= x² −
2ax√ 2
  3√ 3
+ a².

Из уравнения x² +
a²
3
= x² −
2ax√ 2
  3√ 3
+ a² находим, что x =
a√ 3
√ 2
. Следовательно,

R² = x² +
a²
3
=
3
2
a² +
a²
3
=
11
6
a²,   R = a
√
11
6
.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8925