Задача 111300

Темы:    [ Отношение объемов ] [ Правильная пирамида ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В правильной треугольной пирамиде ABCD сторона основания ABC равна 12, ADB = 2 arctg . В треугольнике ABD проведена биссектриса BA1 , а в треугольнике BCD проведены медиана BC1 и высота CB1 . Найдите: 1) объём пирамиды A1B1C1D ; 2) площадь проекции треугольника A1B1C1 на плоскость ABC .

Решение

Пусть M – середина AB (рис.1), H – центр равностороннего треугольника ABC . Обозначим ADB = ϕ . Тогда

AH = CM = · = 4, ADM = , tg = ,

cos = = = , sin = , cos ϕ = = = .
Из прямоугольных треугольников AMD и AHD находим, что
AD = = = 10, DH = = = 2.
Тогда
V_ABCD = S_{Δ ABC}· DH = · · 2 = 24.
По теореме о биссектрисе треугольника = = = , поэтому = . Из прямоугольного треугольника CB1D находим, что = cos ϕ = , поэтому = = , а т.к. = , то
V_A1B1C1D = · · V_ABCD= · · · 24 = .
Пусть A2 , B2 и C2 – ортогональные проекции точек соответственно A1 , B1 и C1 на плоскость ABC (рис.2). Точки A2 , B2 и C2 лежат на отрезках HA , HB и HC соответственно, причём
= = , = = , = = .
Тогда
S_{Δ A}2HB2= · S_{Δ AHB} = · · S_{Δ ABC},

S_{Δ B}2HC2= · S_{Δ BHC} = · · S_{Δ ABC},

S_{Δ A}2HC2= · S_{Δ AHC} = · · S_{Δ ABC}.
Следовательно,
S_{Δ A}2B2C2 = S_{Δ A}2HB2+S_{Δ B}2HC2+ S_{Δ A}2HC2 = · · S_{Δ ABC}+ · · S_{Δ ABC}+ · · S_{Δ ABC}=

=(· +· + · )· · S_{Δ ABC}= (· +· + · )· · =.

Ответ

, .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8935