Задача 111304

Темы:    [ Правильная пирамида ] [ Площадь сечения ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В правильной треугольной пирамиде ABCD угол ADC равен 2 arcsin , а сторона основания ABC равна 2. Точки K , M и N – середины рёбер AB , CD , AC соответственно. Точка E лежит на отрезке KM и 3ME=KE . Через точку E проходит плоскость Π перпендикулярно отрезку KM . В каком отношении плоскость Π делит рёбра пирамиды? Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью Π и расстояние от точки N до плоскости Π .

Решение

Обозначим ADK = α , DCK = β , DKM = γ , KMC = ϕ , MKC = δ . Пусть DH – высота пирамиды (рис.1). Тогда

CK = = = , CH = CK = .
Из прямоугольных треугольников AKD и DHC находим, что
AD = = = 6, DK = = = ,

cos β = = = = .
Тогда
KM = = = ,

cos γ = cos DKM = = = ,

EM = KM = , KE = KM = .

cos ϕ = cos KMC = = = .
Тогда
tg ϕ = = = ,

tg γ = = = .
Пусть C1 , A1 , B1 и Q – точки пересечения плоскости Π с прямыми DC , DA , DB и DK соответственно. Тогда C1Q KM . Из прямоугольного треугольника MEC1 находим, что
MC1 = = = < 3 = MC.
Значит, точка C1 принадлежит боковому ребру DC , а не его продолжению, и при этом
= = = .
Пусть плоскость Π пересекает плоскость основания ABC по некоторой прямой l . Тогда KE l , а т.к. прямая KC – ортогональная проекция наклонной KM на плоскость ABC , то по теореме о трёх перпендикулярах KC l , значит, l || AB и прямая l параллельна плоскости ABD . Следовательно, проходящая через прямую l плоскость Π пересекается с плоскостью ABD по прямой, параллельной l , а значит, и прямой AB , т.е. A1B1 || AB . Из прямоугольного треугольника KEQ находим, что
KQ = = = .
Следовательно,
= = = = =.
Из прямоугольных треугольников KEQ и MEC1 находим, что
EQ = KE tg γ = · = ,

EC1 = ME tg ϕ = · = .
Поэтому
C1Q = EQ+EC1 =+=,
а т.к.
A1B1 = · AB = · 2 = ,
то
S_{Δ A}1B1C1= A1B1· C1Q = · · = .
По теореме косинусов
cos δ = cos MKC = = = .
Пусть T – середина CK (рис.2). Тогда NT – средняя линия треугольника ACK , поэтому NT || AB || A1B1 . Значит, прямая NT параллельна плоскости Π и расстояние от точки N до плоскости Π равно расстоянию до этой плоскости от точки T . Если L – ортогональная проекция точки T на прямую QC1 , то искомое расстояние равно длине отрезка TL . Опустим перпендикуляр TP из точки T на прямую KM . Из прямоугольного треугольника KPT находим, что
KP = KT cos δ = · = .
Следовательно,
TL = PE = KE-KP = - = = .

Ответ

= = , = , , .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8939