Задача 111368

Темы:    [ Отношение объемов ] [ Объем круглых тел ] [ Цилиндр ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Условие

Найдите объём общей части двух прямых круговых цилиндров радиуса a , пересекающихся под прямым углом (т.е. их оси пересекаются под прямым углом).

Решение

Проекция пересечения P цилиндров на плоскость, перпендикулярную оси одного из цилиндров, есть круг радиуса a . Половина тела P изображена на рис.1. При этом ABCD – квадрат со стороной 2a . Если "вкатить" шар S радиуса a в каждый из цилиндров, то он будет вписан в тело P . Сечение этого тела плоскостью, параллельной ABCD , есть квадрат, а сечение этой же плоскостью шара S – круг, вписанный в этот квадрат. Если сторона квадрата равна b , то радиус вписанного в него круга равен (рис.2), поэтому отношение площадей квадрата и круга равно = . Из принципа Кавальери следует, что объём V тела P в раз больше объёма шара S , т.е.

V = · π a3 = a3.

Ответ

a3 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8965