Задача 111376

Темы:    [ Площадь сечения ] [ Правильная пирамида ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания ABCD равна a , высота равна 2a . Через вершину A параллельно диагонали BD основания проведена плоскость так, что угол между прямой AB и этой плоскостью равен 30^o . Найдите площадь сечения

Решение

Пусть SH = 2a – высота пирамиды, O – точка пересечения секущей плоскости с высотой SH . Плоскость SDB проведена через прямую BD , параллельную секущей плоскости, и пересекает эту плоскость, по некоторой прямой l , проходящей через точку O , значит, прямая l параллельна диагонали BD основания. Пусть прямая l пересекает боковые рёбра SD и SB в точках M и K соответственно, а прямая AO пересекает боковое ребро SC в точке L . Тогда четырёхугольник AMLK – сечение, о котором говорится в условии задачи. Поскольку прямая BD параллелльна секущей плоскости, все точки этой прямой удалены от секущей плоскости на одно и то же расстояние, поэтому длина перпендикуляра, опущенного из точки B на секущую плоскость, равна длине перпендикуляра HP , опущенного из точки H на прямую AL . Обозначим OH=x . Из прямоугольного треугольника AHO находим, что

AO = = = .
Тогда
HP = = = .
По условию задачи = sin 30^o = , или = , откуда x= . Тогда
SO = SH-OH = SH-x = 2a- = ,

= 3, MK = · BD = · a = .
Пусть N – ортогональная проекция точки L на плоскость основания. Тогда L лежит на диагонали AC основания. Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью ASC . Через вершину S проведём прямую, параллельную AC , и продолжим AL до пересечения с этой прямой в точке T . Из подобия треугольников SOT и HOA следует, что ST = AH· = , а из подобия треугольников SLT и CLA –
= ==,
Значит,
NH = HC = , AN = AH+HN=+= ,

LN = SH = · 2a = =AN, AL = AN = .
По теореме о трёх перпендикулярах AL BD , значит, AL MK . Следовательно,
S_AMLK = AL· MK = · · = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8973