Задача 111388

Темы:    [ Сфера, вписанная в трехгранный угол ] [ Касательные к сферам ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Ребро правильного тетраэдра равно a . Плоскость P проходит через вершину B и середины рёбер AC и AD . Шар касается прямых AB , AC , AD и той части плоскости P , которая заключена внутри тетраэдра. Найдите радиус шара. (Найдите все решения).

Решение

Пусть M и N – середины рёбер AC и AD соответственно, L и T – точки касания указанной сферы с рёбрами AD , AB и AC соответственно, F точка касания сферы с плоскостью BMN , Q – точка пересечения средней линии MN треугольника ADC с медианой AA1 треугольника ADC , H – центр грани BCD , E – точка пересечения высоты AH с отрезком BQ . Обозначим BAH = α . Из прямоугольного треугольника BAH находим, что

sin α = = = .
Сфера касается рёбер AD , AC и AB трёхгранного угла правильного тетраэдра ABCD , поэтому её центр O лежит на высоте AH тетраэдра. Обозначим через r радиус сферы. Тогда
OA = = = r.
Рассмотрим сечение тетраэдра и сферы плоскостью ABA1 . Получим треугольник ABA1 , в котором AB=a , высота AH = a , BH= , и окружность радиуса r с центром O на AH , касающуюся стороны AB в точке L и медианы BQ – в точке F . Через вершину A проведём прямую, параллельную BA1 , и продолжим отрезок BQ до пересечения с этой прямой в точке G . Из равенства треугольников AQG и A1QB получаем, что AG = BA1= , а из подобия треугольников AEG и HEB –
= = = .
Значит,
AE = AH = a, EH = AH = a.
Обозначим BEH = β . Из прямоугольного треугольника BEH находим, что
ctg β = = = , sin β = = .
Тогда
OE = = .
Предположим, что сфера и вершина A расположены по одну сторону от плоскости P . Тогда AE=OA+OE , или
a=r+,
откуда находим, что
r = = .
Если сфера и вершина A расположены по разные стороны от плоскости P , то AE=OA-OE , или
a=r-,
откуда находим, что
r = = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8995