Задача 111391

Темы:    [ Отношение объемов ] [ Частные случаи параллелепипедов (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 все рёбра равны между собой, все плоские углы при вершине A острые и равные между собой. Плоскость P проходит через вершину A и пересекает боковые рёбра BB1 , CC1 и DD1 в точках K , L и M соответственно. Площади фигур AKB , AMD , DMLC и площадь нижнего основания ABCD образуют в указанном порядке геометрическую прогрессию. Найдите отношение объёма отсечённой части ABCDKLM к объёму всего параллелепипеда.

Решение

Все грани параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 – равные ромбы. Пусть сторона каждого из них равна a , а высота – h . Обозначим BK=x , DM=y , CL=z . Поскольку числа S_{Δ AKB} = xh , S_{Δ AMD} = yh , S_DMLC = (y+z)h и S_ABCD = ah образуют в указанном порядке геометрическую прогрессию, S2_{Δ AMD} = S_{Δ AKB}· S_DMLC и S2_DMLC =S_{Δ AMD}· S_ABCD , или

y2h2=xh· (y+z)h, (y+z)2h2 = 12yh· ah,

y2= x(y+z), (y+z)2=2ay.
При пересечении двух параллельных плоскостей третьей плоскостью образуются параллельные прямые, поэтому четырёхугольник AKLM – параллелограмм. Через точку K проведём прямую, параллельную BC . Пусть эта прямая пересекает ребро CC1 в точке E . Треугольники KLE и AMD равны, поэтому EL=MD = y и x=BK = CE = CL-EL=z-y . Таким образом, считая a известным, получим систему

причём x , y , z – принимают только положительные значения. Подставляя x=z-y в первое уравнение, получим, что z=y . После этого из второго уравнения находим, что y=2a(3-2) . Тогда z=2a(3-4) , x=2a(5-7) . Поскольку объём V параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту, а все грани данного параллелепипеда равны, все высоты параллелепипеда также равны между собой. Плоскость диагонального сечения AA1C1C разбивает многогранник ABCDKLM на две четырёхугольные пирамиды: ABCLK с основанием BCLK и ACLMD с основанием CLMD , причём высоты этих пирамид равны высоте параллелепипеда. Обозначим её H , тогда
V_ABCLK = S_BCLK· H = · (BK+CL)h· H= (x+z)h· H =

=(2a(5-7)+2a(3-4))h· H=ahH(8-11)= (8-11)V,

V_ACLMD = S_CLMD· H = · (MD+CL)h· H= (y+z)h· H =

=(2a(3-2)+2a(3-4))h· H=ahH(-1)= (-1)V,

V_ABCDKLM=V_ABCLK+V_ACLMD= (8-11)V+(-1)V= (3-4)V.
Следовательно,
= 3-4.

Ответ

3-4 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8998