ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111392
Темы:    [ Свойства сечений ]
[ Правильный тетраэдр ]
[ Отношение площадей треугольников с общим углом ]
Сложность: 4
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В правильном тетраэдре ABCD плоскость P пересекает рёбра AB , BC , CD , AD в точках K , L , M , N соответственно. Площади треугольников AKN , KBL , NDM составляют соответственно , , площади грани тетраэдра. В каком отношении плоскость P делит площадь грани BCD ?

Решение

Сначала докажем следующую лемму: если плоскость пересекает рёбра AB , BC , CD , AD произвольного тетраэдра ABCD в точках K , L , M , N соответственно (рис.1), то · · · =1 . Доказательство. Если окажется, что плоскость параллельна прямой BD , то KN || BD и ML || BD . Тогда = и = , следовательно,

· · · = (· )· (· )=1.

Пусть плоскость пересекает прямую BD в некоторой точке E . Через вершину A проведём прямую, параллельную BD . Пусть эта прямая пересекается с прямой KN в точке Q . Из подобия треугольников ANQ и DEN следует, что DE = AQ· , а из подобия треугольников AKQ и BKE BE = AQ· , поэтому
= = · .

Аналогично докажем, что =· . Из равенства · =· следует доказываемое утверждение. Можно считать, все рёбра данного правильного тетраэдра равны 1. Обозначим DN=x , AK=y , BL=z , CM=t (рис.2). По лемме
· · · = = 1.

Кроме того,
= · = · = (1-x)y,


= · = · = (1-y)z,


= · = · = (1-t)x.

Таким образом, имеем систему

Выразив y , z и t через x из трёх последних уравнений, получим систему

Подставив найденные выражения для y , z и t в первое уравнение, найдём, что x= . Тогда y= , z= , t= . Поэтому
= · = · = (1-z)t = · = .

Следовательно, = .

Ответ

1:7 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 8999

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .