ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 111392
УсловиеВ правильном тетраэдре ABCD плоскость P пересекает рёбра AB , BC , CD , AD в точках K , L , M , N соответственно. Площади треугольников AKN , KBL , NDM составляют соответственно , , площади грани тетраэдра. В каком отношении плоскость P делит площадь грани BCD ?РешениеСначала докажем следующую лемму: если плоскость пересекает рёбра AB , BC , CD , AD произвольного тетраэдра ABCD в точках K , L , M , N соответственно (рис.1), то · · · =1 . Доказательство. Если окажется, что плоскость параллельна прямой BD , то KN || BD и ML || BD . Тогда = и = , следовательно,Пусть плоскость пересекает прямую BD в некоторой точке E . Через вершину A проведём прямую, параллельную BD . Пусть эта прямая пересекается с прямой KN в точке Q . Из подобия треугольников ANQ и DEN следует, что DE = AQ· , а из подобия треугольников AKQ и BKE – BE = AQ· , поэтому Аналогично докажем, что =· . Из равенства · =· следует доказываемое утверждение. Можно считать, все рёбра данного правильного тетраэдра равны 1. Обозначим DN=x , AK=y , BL=z , CM=t (рис.2). По лемме Кроме того, Таким образом, имеем систему Выразив y , z и t через x из трёх последних уравнений, получим систему Подставив найденные выражения для y , z и t в первое уравнение, найдём, что x= . Тогда y= , z= , t= . Поэтому Следовательно, = . Ответ1:7 .Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|