Задача 111439

Темы:    [ Теорема косинусов ] [ Площадь параллелограмма ] [ Площадь четырехугольника ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Стороны параллелограмма равны a и b , а острый угол между диагоналями равен α . Найдите площадь параллелограмма.

Решение

Пусть a<b . Тогда против острого угла между диагоналями, лежит сторона, равная a . Обозначим через x и y половины диагоналей параллелограмма. По теореме косинусов

a2 = x2+y2 - 2xy cos α, b2 = x2+y2 - 2xy cos (180^o-α) = x2+y2 + 2xy cos α.
Тогда b2-a2 = 4xy cos α , откуда находим, что 2xy = . Пусть S – площадь параллелограмма. Тогда
S = · 2x· 2y sin α = 2xy sin α= · sin α = (b2-a2) tg α.
Если a>b , то аналогично получим, что S = (a2-b2) tg α .

Ответ

|b2-a2| tg α .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4545