Задача 111460

Темы:    [ Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы ] [ Теорема синусов ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Угол при основании равнобедренного треугольника равен α , а разность между радиусами описанной и вписанной окружности равна b . Найдите сторону основания.

Решение

Пусть окружность с центром O радиуса r вписана в равнобедренный треугольник ABC с основанием BC , AM – высота треугольника, R – радиус его описанной окружности, ABC= ACB = α , BAC = 180^o-2α , R-r=b , Обозначим BC=x . Тогда BM = , По теореме синусов

R = = = .
Поскольку AM – биссектриса угла при вершине равнобедренного треугольника, точка O лежит на отрезке AM , причём BO – биссектриса угла ABM , а OM=r . Из прямоугольного треугольника BOM находим, что
r=OM = BM tg OBM = tg ,
значит,
b=R-r = - tg = (- tg )= .
Следовательно,
BC=x = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4566