Условие
В треугольнике
ABC известно, что
AB=c ,
AC=b , а
биссектриса, выходящая из угла
A равна
l . Найдите
третью сторону треугольника.
Решение
Пусть
AD=l – биссектриса треугольника
ABC ,
BD=c' ,
CD=b' .
Докажем сначала, что квадрат биссектрисы треугольника равен
произведению сторон, её заключающих, без произведения отрезков
третьей стороны, на которые она разделена биссектрисой, т.е.
l2
= bc-b'c' .
Пусть
M – точка пересечения продолжения биссектрисы
AD
треугольника
ABC с описанной около этого треугольника
окружностью. Тогда треугольник
ABD подобен треугольнику
AMC по
двум углам. Поэтому
= 
, или AD(AD+DM) = AC· AB,
l(l+DM) = bc, l2 = bc-l· DM = bc-b'c'.
(
l· DM = b'c' по теореме о произведениях отрезков пересекающихся хорд),
что и требовалось доказать.
По свойству биссектрисы треугольника
= 
= 
. Положим
c'=cx ,
b'=bx . Тогда
l2
=bc-b'c' = bc-bcx2
, откуда
x = 
. Следовательно,
BC = b'+c' = (b+c)x = (b+c) .
Ответ
(
b+c)
.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
4579 |
