Задача 111502

Темы:    [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Все вершины правильного треугольника лежат на сторонах прямоугольного треугольника. Одна из сторон правильного треугольника параллельна гипотенузе и длина её в три раза меньше длины гипотенузы. Найдите углы прямоугольного треугольника.

Решение

Пусть вершины K и L правильного треугольника KLM лежат на катетах соответственно BC и AC прямоугольного треугольника ABC, а вершина M – на гипотенузе AB. Пусть  ∠A = α,  KL = 1.  Тогда  ∠ KLC = ∠A = α,  AB = 3,  а высота CH = 3cos α sin α.  С другой стороны эта высота в полтора раза больше высоты треугольника KLM, то есть равна     Отсюда     то есть  2α = 60° или 120°.  Следовательно,  α = 30°  или  α = 60°.

Ответ

30°, 60°.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4587