Задача 111511

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

На отрезке длины 2R как на диаметре построена полуокружность. В получившуюся фигуру вписана окружность радиуса ^R/₂. Найдите радиус окружности, касающейся построенных окружности, полуокружности и данного отрезка.

Решение

Пусть O – центр полуокружности, построенной как на диаметре на отрезке AB , O1 – центр окружности радиуса , вписанной в полуокружность, O2 – центр окружности искомого радиуса x , вписанной в получившуюся фигуру, M – точка касания этой окружности с отрезком AB , K – точка её касания с полуокружностью. Окружность радиуса касается полуокружности и её диаметра, поэтому точка касания с диаметром совпадает с центром O полуокружности, значит, OM – отрезок общей касательной касающихся окружностей радиусов и x . Следовательно,

OM = 2=.
Линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому
OO2=OK-O2K = R-x.
В прямоугольном треугольнике OO2M известно, что
OO2 = R-x, O2M = x, OM = .
По теореме Пифагора
OO22 = OM2+O2M2, (R-x)2 = 2Rx+x2,
откуда x= .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4596