Задача 111532

Темы:    [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Около окружности описана трапеция с боковыми сторонами a и b . Найдите сумму квадратов расстояний от центра окружности до вершин трапеции.

Решение

Пусть боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны a и b соответственно, O – центр окружности. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла, поэтому

BAO + ABO = BAD+ ABC = ( BAD+ ABC)= · 180^o = 90^o,
значит, AOB = 90^o . Из прямоугольного треугольника AOB находим, что
OA2+OB2= AB2 = a2.
Аналогично, OC2+OD2 = b2 . Следовательно,
OA2+OB2+OC2+OD2= a2+b2.

Ответ

a2+b2 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4617