Задача 111553

Темы:    [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Трапеции ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Точка M расположена на боковой стороне AB трапеции ABCD, причём  AM : BM = 2 : 1.  Прямая, проходящая через точку M параллельно основаниям AD и BC, пересекает боковую сторону CD в точке N. Найдите MN, если  AD = 18,  BC = 6.

Решение

Проведём диагональ BD. Пусть она пересекается с отрезком MN в точке P. По теореме о пропорциональных отрезках
BP : PD = CN : ND = BM : AM = 1 : 2.  Треугольник BMP подобен треугольнику BAD с коэффициентом  ^BM/_BA = ⅓,  а треугольник DNP подобен треугольнику DCB с коэффициентом  ^DN/_NC = ⅔,  поэтому  MP = ⅓ AD = ⅓·18 = 6,  NP = ⅔ BC = 4,  MN = MP + NP = 6 + 4 = 10.

Ответ

10.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4658