Задача 111575

Темы:    [ Отношение площадей треугольников с общим углом ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC точка D – середина стороны AB . Можно ли так расположить точки E и F на сторонах AC и BC соответственно, чтобы площадь треугольника DEF оказалась больше суммы площадей треугольников AED и BFD ?

Решение

Обозначим =x , =y , S_{Δ ABC}=s . Тогда

= = =· = x· = x.
Аналогично,
= · =y, = · = (1-x)(1-y).
Поэтому
S_{Δ AED}=xs, S_{Δ BFD}=ys, S_{Δ ECF}=(1-x)(1-y)s,
значит,
S_{Δ AED}+S_{Δ BDF} = xs+ys = s(x+y),

S_{Δ DEF}=S_{Δ ABC}-S_{Δ DEA}-S_{Δ BFD}-S_{Δ ECF}=

=s-xs-ys-(1-x)(1-y)s = s(2-x-y-2(1-x)(1-y)) =

=s(x+y-2xy)=s(x+y)-xys= S_{Δ AED}+S_{Δ BDF}-xys,
Следовательно,
S_{Δ AED}+S_{Δ BDF} > S_{Δ DEF}.

Ответ

Нет.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4680