Задача 111606

Темы:    [ Отношение объемов ] [ Объем тела равен сумме объемов его частей ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

В правильной четырёхугольной усечённой пирамиде с боковыми рёбрами AA1 , BB1 , CC1 , DD1 сторона верхнего основания A1B1C1D1 равна 1, а сторона нижнего основания равна 7. Плоскость, проходящая через ребро B1C1 перпендикулярно к плоскости AD1C , делит пирамиду на две части равного объёма. Найдите объём пирамиды.

Решение

Поскольку секущая плоскость проходит через прямую B1C1 параллельную плоскости основания ABCD , эти плоскости пересекаются по прямой l , параллельной B1C1 , а значит, и прямой BC . Пусть прямая l пересекает прямые AB и CD в точках E и F соответственно. Если бы точки E и F лежали на продолжении рёбер AB и CD , то объём части данной усечённой пирамиды, расположенной под плоскостью сечения, был бы больше объёма остальной части пирамиды, значит, точки E и F лежат на рёбрах AB и CD . Пусть Q – центр нижнего основания усечённой пирамиды, M – основание перпендикуляра, опущенного из точки B1 на прямую D1Q . Прямая B1M лежит в плоскости диагонального сечения BB1D1D , а прямая AC перпендикулярна этой плоскости, поэтому прямая B1M перпендикулярна двум пересекающимся прямым D1Q и AC плоскости AD1C . Следовательно, прямая B1M перпендикулярна плоскости AD1C , а плоскость, проходящая через пересекающиеся прямые B1C1 и B1M перпендикулярна плоскости AD1C (если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны). Таким образом, сечение, о котором говорится в условии задачи – трапеция B1C1FE . Пусть высота усечённой пирамиды равна h , CF=BE=t , а объём усечённой пирамиды равен V . На продолжении отрезка C1B1 за точку B1 отложим отрезок B1G = 6 . Тогда многогранник CC1FBGE – треугольная призма с боковыми рёбрами GC1=EF=BC=7 . Расстояние от бокового ребра GC1 призмы до плоскости противоположной боковой грани BCFE равно h . Если V1 – объём призмы, то

V1 = S_BCFE· h= · 7th = th.
Пусть V2 – объём тетраэдра BEB1G , дополняющего до призмы часть усечённой пирамиды, расположенной под плоскостью сечения. Противоположные рёбра BE и B1G тетрадра перпендикулярны, а расстояние между прямыми BE и B1G равно h , поэтому
V2 = BE· B1G· h · sin 90^o = t· 6· h= th,
а т.к. V1-V2 = V , то
th-th = · h(72+12+),
откуда находим, что t= . Диагональное сечение BB1D1D – равнобедренная трапеция BB1D1D , точка Q – середина большего основания BD . Пусть T – точка пересечения прямой B1M , перпендикулярной D1Q , с основанием BD , K и L – основание перпендикуляров, опущенных из вершин соответственно B1 и D1 на BD . Точка T лежит в плоскостях B1C1FE и ABCD , поэтому она лежит на прямой EF пересечения этих плоскостей. Тогда
= = = , BT = BD = · 7 = ,

BL = (BD+B1D1) = (7+) = 4, BQ= BD = ,

QL = BL-BQ = 4 -= , BK = (7-) = 3,

KT = BT-BK = -3 = .
Прямоугольные треугольники B1KT и QLD1 подобны по двум углам, поэтому = , или = , откуда h = . Следовательно,
V=h(49+1+7) = · · 57 = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8982