ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 111611
УсловиеРебро правильного тетраэдра ABCD равно a . На рёбрах AB и CD взяты точки E и F так, что описанная около тетраэдра сфера пересекает прямую, проходящую через E и F , в точках M и N . Найдите длину отрезка EF , если ME:EF:FN=3:12:4 .РешениеПоложим ME = 3t , EF=12t , FN=4t . Пусть P и Q – середины рёбер AB и CD соответственно. Отрезок, соединяющий середины противоположных рёбер правильного тетраэдра, перпендикулярен этим рёбрам, его длина равна , где a – длина ребра тетраэдра. Обозначим PE = x , FQ=y . По теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд шара AE· EB = ME· EN , CF· FD = NF· FM , илиоткуда x2+y2 = -108t2 . Из прямоугольных треугольников EPQ и FQP находим, что Тогда 144t2 = -108t2 + , откуда t2 = , t = . Следовательно, EF = 12t = . Ответ.Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|