Задача 111619

Темы:    [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Дан треугольник ABC. Окружность ω касается описанной окружности Ω треугольника ABC в точке A, пересекает сторону AB в точке K, а сторону BC – в точке M. Касательная CL к окружности ω такова, что отрезок KL пересекает сторону BC в точке T. Докажите, что отрезок BT равен по длине касательной, проведённой из точки B к ω.

Решение

  При гомотетии с центром A окружность ω переходит в Ω, точка K – в точку B, а M – в C, значит, прямая KM переходит при этом в параллельную ей прямую BC. Поэтому  AMK = ∠C = ∠ACT.  Четырёхугольник AMLK вписан в ω, поэтому  ∠AMK = ∠ALK = ∠ALT,  значит,  ∠ALT = ∠ACT.  Следовательно, точки A, T, L и C лежат на одной окружности. Из теоремы об угле между касательной о хордой  ∠ATC = ∠ALC = ∠AKL = ∠AKT,  поэтому  ∠BKT = 180° – ∠AKT = 180° – ∠ATC = ∠ATB.

  Значит, треугольники BTA и BKT подобны по двум углам, поэтому  BN : BK = BA : BT,  то есть  BT² = BK·BA.  С другой стороны, квадрат касательной, проведённой из точки B к окружности ω, также равен BK·BA.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4164