Задача 111645

Темы:    [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ] [ Площадь четырехугольника ] [ Вписанные и описанные многоугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Гальперин Г.А.

В окружность радиуса 2 вписан остроугольный треугольник A₁A₂A₃. Докажите, что на дугах A₁A₂, A₂A₃, A₃A₁ можно отметить по одной точке (B₁, B₂, B₃ соответственно) так, чтобы площадь шестиугольника A₁B₁A₂B₂A₃B₃ численно равнялась периметру треугольника A₁A₂A₃.

Решение

Проведём радиусы  OB₁ ⊥ A₁A₂,  OB₂ ⊥ A₂A₃,  OB₃ ⊥ A₃A₁.  Поскольку диагонали четырёхугольника OA₁B₁A₂ перпендикулярны, его площадь равна
 ½ OB₁·A₁A₂ = A₁A₂.  То же верно для четырёхугольников OA₂B₂A₃ и OA₃B₃A₁.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	2008/2009
Номер	30
вариант
Вариант	осенний тур, базовый вариант, 8-9 класс
задача
Номер	3