Задача 111665

Темы:    [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Поворот помогает решить задачу ] [ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

На сторонах произвольного треугольника ABC внешним образом построены равнобедренные треугольники AC₁B, BA₁C, CB₁A с углами 2α, 2β и 2γ при вершинах A₁, B₁ и C₁, причём  α + β + γ = 180°.  Докажите, что углы треугольника A₁B₁C₁ равны α, β и γ.

Решение

  Сумма углов шестиугольника AC₁BA₁CB₁ равна 720°, а так как  ∠BA₁C + ∠AB₁C + ∠AC₁B = 2α + 2β + 2γ = 360°,  то
∠ B₁AC₁ + ∠A₁BC₁ + ∠A₁BC₁ = 720° – 360° = 360°.
  Пусть при повороте вокруг точки C₁, переводящем точку B в точку A, точка A₁ перешла в некоторую точку P (см. рис.). Тогда треугольник PAC₁ равен треугольнику A₁BC₁, а так как  AP = BA₁ = CA₁,  AB₁ = CB₁  и
∠PAB₁ = 360° – ∠PAC₁ – B₁AC₁ = 360° – ∠A₁BC₁ – B₁AC₁ = 360° – (360° – ∠A₁CB₁) = ∠ A₁CB₁,  то треугольники PAB₁ и A₁CB₁ равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому  PB₁ = A₁B₁,  а треугольники PB₁C₁ и A₁B₁C₁ равны по трём сторонам. Значит,  ∠PB₁A = ∠CB₁A₁,
∠PB₁A₁ = ∠PB₁A + ∠AB₁A₁ = ∠CB₁A₁ + ∠AB₁A₁ = ∠AB₁C = 2β.
  Следовательно,  ∠A₁B₁C₁ = ½ ∠PB₁A₁ = ½ ∠AB₁C = β.
  Аналогично  ∠B₁A₁C₁ = α,  ∠A₁C₁B₁ = γ.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4183